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乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言

来源:现代诗歌 时间:2018-10-17 18:30:19 点击: 推荐访问:

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乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言篇一

波利亚与《怎样解题表》

波利亚与《怎样解题表》

1、乔治·波利亚

乔治·波利亚(1887—1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面,是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律,亦译为探索法)现代研究的先驱。由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响,在他93岁高龄时,还被ICME (国际数学教育大会)聘为名誉主席。

作为一个数学家,波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域,都做出了开创性的贡献,留下了以“波利亚”命名的定理或术语;他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典;而以200多篇论文构成的四大卷文集,在未来的许多年里,将是研究生攻读的内容。

作为一个数学教育家,波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上,涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域,波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的,而在尔后的著作中有所发展,也在“解题讲习班”中对教师现身说法.他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程,他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”,而是希望通过对于解题过程的深入分析,特别是由已有的成功实践,总结出一般的方法或模式,使得在以后的解题中可以起到启发的作用.他所总结的模式和方法,包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等,都在解题中行之有效.尤其有特色的是,他将上述的模式与方法设计在一张解题表中,并通过一系列的问句或建议表达出来,使得更有启发意义。著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过:“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日).

2、怎样解题表

波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的,这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调,同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上.波利亚在风靡世界的《怎样解题》(被译成14种文字)一书中给出的“怎样解题表”,正是一部“启发法小词典”。

2.1 “怎样解题”表的呈现

弄清问题

未知是什么?已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能?需

要确定未知,条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或第一,你必须弄清问题 者是矛盾的?

画张图,引入适当的符号.

把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来?

拟订计划

你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同?

你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理?

看着未知数,试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.

这里有一个与你现在的问题有关,且早已解决的问题.

你能不能利用它?

你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利

用它,你是否应该引入某些辅助元素?

你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它?

回到定义去.

如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的问题.你能

不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问

题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部分

而舍去其余部分。这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你能不

能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数的其

他数据?如果需要的话,你能不能改变未知数或数据,或者二者都改变,以

使新未知数和新数据彼此更接近?

你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了

包含在问题中的必要的概念?

第二,找出已知 数与未知数之间 的联系.如果找 不出直接的联 系,你可能不得 不考虑辅助问 题.你应该最终 得出一个求解的 计划

实现你的计划 实现你的求解计划,检验每一步骤。 第三,你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的?

回顾 你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一 下子看出它来?

你能不能把这一结果或方法用于其他的问题?

下面是实践波利亚解题表的一个示例,能够展示波利亚解题风格的心路历程,娓娓道来,栩栩如生.

2.2 “怎样解题”表的实践

例1 给定正四棱台的高h,上底的一条边长a和下底的一条边长b,求正四棱台的体积F,(学生已学过棱柱、棱锥的体积) .

讲解 第一,弄清问题.

问题1. 你要求解的是什么?

要求解的是几何体的体积,在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1).

问题2.你有些什么?

一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h;另一方

面是已学过棱柱、棱锥的体积公式,并积累有求体积公式的

初步经验.把已知的三个量添到图示处(图2),就得到新添

的三个点a、b、h;它们与F之间有一条鸿沟,象征问题尚未

解决,我们的任务就是将未知量与已知量联系起来.

第二,拟定计划.

问题3.怎样才能求得F?

由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式,而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们,棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”,从一个大棱锥中截去一个小梭锥所生成的.如果知道了相应两棱锥的体积B和A,我们就能求出棱台的体积F=B—

A. ①

我们在图示上引进两个新的点A和B,用斜线把它们与F联结起来,以此表示这三个量之间的联系(图3,即①式的几何图示).这就把求F转化为求

A、B.

问题4.怎样才能求得A与B?

依据棱锥的体积公式(V=1Sh),底面积可3由已知条件直接求得,关键

高x,大棱锥的高也就求

与x、a连结起来,表示A

与b、h、x连结起来,表

4),这就把求A、B转化为求是如何求出两个棱锥的高.并且,一旦求出小棱锥的出,为xh. 我们在图示上引进一个新的点x,用斜线把A能由x、a得出,A=ax;类似地,用斜线把B示B可由b、h、x得出,B=b(xh) (图1321

32

x.

问题5.怎样才能求得x?

为了使未知数x与已知数a、b、h联系起来,

动处理立体几何问题的基本经验,进行“平面化”

底面一边上中点(图5中,点Q)的平面去截两

相似三角形能把a、b、h、x联系起来(转化为建立起一个等量关系.我们调的思考.用一个通过高线以及个棱锥,在这个截面上有两个平面几何问题),由VPO1相似于VQO2 得xa„„„„„② xhb

这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解.解方程②,便可由a、b、h表示x,在图示中便可用斜线将a、b、h、x连结起来.至此,我们已在F与巳知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通。

第三,实现计划.

作辅助线(过程略)如图5,由相似三角形的性质, 得 xaah,解得x.进而得两锥体的体积为 xhbba

12a3h12b3h(b3a3)ha2abb2

得棱台体积为FBAAax, Bb(xh)h. 33(ba)33(ba)3(ba)3

第四,回顾。

(1)正面检验每一步,推理是有效的,演算是准确的.再作特殊性检验,令a0,由③可得正四梭锥体的体积公式;令a

b,由③可得正四棱柱体的体积公式.这既反映了新知识与原有知识的相容性,又显示出棱台体积公

式的一般性;这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系,又可增进三个体积公式的联系记忆.

(2)回顾这个解题过程可以看到,解题首先要弄清题意,从中捕捉有用的信息(如图l所示,有棱台,a、b、h、F共5条信息),同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想:棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息),并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合.这当中,起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略).由这一案例,每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式.

(3)在解题方法上,这个案例是分析法的一次成功应用,从结论出发由后往前找成立的充分条件.为了求F,我们只需求A、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知,化归);为了求A、B,我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单,降维);为了求x,我们只需建立关于x的方程(由几何到代数的转化——数形结合);最后,解方程求x,解题的思路就畅通了,在当初各自孤立而空旷的画面上(图1),形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5),书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述.这个过程显示了分析与综合的关系,“分析自然先行,综合后继;分析是创造,综合是执行;分析是制定一个计划,综合是执行这个计划”.

(4)在思维策略上,这个案例是“三层次解决”的一次成功应用.首先是一般性解决(策略水平上的解决),把F转化为A,B的求解(F=A—B),就明确了解题的总体方向;其次是功能性解决(方法水平的解决),发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能;最后是特殊性解决(技能水平的解决),比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等,是对推理步骤和运算细节作实际完成.

(5)在心理机制上,这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程.首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下,激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式,然后,沿着体积计算的接线向外扩散,依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1一图5),„„直到条件与结论之间的网络沟通.这种“扩散——激活”的观点,正是数学证明思维中心过程的一种解释.

(6)在立体几何学科方法上,这是“组合与分解”的一次成功应用.首先把棱台补充(组合)为棱锥,然后再把棱锥截成(分解成)棱台并作出截面,这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥),它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍,而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁.这些都可以用于求解其他立体几何问题,并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科.

(7)“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答,操作上未实现只是能力问题或暂时现象.对于本例,按照化棱台为棱锥的同样想法,可以有下面的解法。

如图6,正四棱台 ABCDA1B1C1D1 中,连结 DA1,DB1,DC1,DB,将其

分成三个四棱锥 DA1B1C1D1,DAA1B1B,DBB1C1C,其中

1VDA1B1C1D1b2h, VDAAVDBB1C1C (等底等高) 1B1B3

为了求VDAABB,我们连结AB1,将其分为 两个三棱锥DABB1与11

DAA1B1

bb(图7),因 SAA1B1SBB1, 故 VDAA1B1VDABB1 , aa

112a2

h, 但VDABB1VB1ABDah326

a2ba2a2ab故VDAA1B1BVDABB1VDAA1B1hhh .从而 6a66

a2aba2abb2a2abb2

VABCDA1B1C1D1VDAA1B1BVDBB1C1CVDA1B1C1D1hhhh 6633

(8)“你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能,至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的).注意到

a2S1,b2S2,ab{乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言}.

V台

S1S2,可一般化猜想棱台的体积公式为 1(S1S1S2S2)h 3

乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言篇二

波利亚的“解题表”

乔治·波利亚是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者,他十分重视解题在数学学习中的作用,并对解题方法进行了多年的研究和实践,终于绘制出一张"解题表",表中把解题过程分为四个阶段:

一、弄清题意

1、已知是什么?未知是什么?

2、条件是什么?结论是什么?

3、画出草图,引入适当的符号。

二、拟定计划

1、见过这到题或与之类似的题吗?

2、能联想起有关的定理或公式吗?

3、再看看未知数!

4、换一种方式来叙述这道题。

5、回到定义看看!

6、先解决一个特例试试。

7、这个问题的一般式是什么?

8、你能解决问题的一部分吗?

9、你用了全部条件吗?

三、实行计划

实现你的解题计划并检验每一步骤,证明你的每一步都是正确的。 四、回顾

1、检查结果并检验其正确性。

2、换一个方法做这个题。

3、尝试把你的结果和方法用到其他问题上。

这张解题表看似简单,实际上它给出了一套解决数学问题的一般方法与模式,同时还揭示了解题中的思维方法和思维过程。悉心体会并把握表中各层的要领,相信对同学们的数学学习会起到很大的帮助作用。

乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言篇三

波利亚的怎样解题表(修改版)

波利亚的怎样解题表

陕西师范大学 罗增儒 罗新兵

1乔治·波利亚

乔治·波利亚(George Polya,1887~1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面,是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律,亦译为探索法)现代研究的先驱.由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响,在他93岁高龄时,还被ICME(国际数学教育大会)聘为名誉主席.

作为一个数学家,波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域,都做出了开创性的贡献,留下了以“波利亚”命名的定理或术语;他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典;而以200多篇论文构成的四大卷文集,在未来的许多年里,将是研究生攻读的内容.

作为一个数学教育家,波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上,涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域.波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的,而在尔后的著作中有所发展,也在“解题讲习班”中对教师现身说法.他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程,他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”,而是希望通过对于解题过程的深入分析,特别是由已有的成功实践,总结出一般的方法或模式,使得在以后的解题中可以起到启发的作用.他所总结的模式和方法,包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等,都在解题中行之有效.尤其有特色的是,他将上述的模式与方法设计在一张解题表中,并通过一系列的问句或建议表达出来,使得更有启发意义.著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过:“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日). 2怎样解题表

波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的,这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调,同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上.波利亚在风靡世界的《怎样解题》(被译成14种文字)一书中给出的“怎样解题表”,正是一部“启发法小词典”.

2.1“怎样解题”表的呈现

弄清问题

拟定计划

实现计划{乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言}.

回顾

2.2怎样解题”表的实践

例给定正四棱台的高h,上底的一条边长a和下底的一条边长b,求正四棱台的体积F.(学生已学过棱柱、棱锥的体积)

【讲解】第一,弄清问题.

问题1.你要求解的是什么?

要求解的是几何体的体积,在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1).

问题2.你有些什么?

一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h;另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式,并积累有求体积公式的初步经验.把已知的三个量添到图示处(图2),就得到新添的三个点a、b、h;它们与F之间有一条鸿沟,象征问题尚未解决,我们的任务就是将未知量与已知量联系起来.

第二,拟定计划.

问题3.怎样才能求得F?

由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式,而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们,棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”,从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的.如果知道了相应两棱锥的体积B和A,我们就能求出棱台的体积F=B-A.①

我们在图示上引进两个新的点A和B,用斜线把它们与F联结起来,以此表示这三个量之间的联系(图3,即①式的几何图示).这就把求F转化为求A、B.

问题4.怎样才能求得A与B?

依据棱锥的体积公式(V= Sh),底面积可由已知条件直接求得,关键是如何求出两个棱锥的高.并且,一旦求出小棱锥的高x,大棱锥的高也就求出,为x+h.

我们在图示上引进一个新的点x,用斜线把A与x、a连结起来,表示A能由a、x得出,A= a2x;类似地,用斜线把B与b、h、x连结起来,表示B可由b、h、x得出,B= b2(x+h)(图4),这就把求

A、B转化为求x.

问题5.怎样才能求得x?

为了使未知数x与已知数a、b、h联系起来,建立起一个等量关系.我们调动处理立体几何问题的基本经验,进行“平面化”的思考.用一个通过高线以及底面一边上中点(图5中,点Q)的平面去截两个棱锥,在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来(转化为平面几何问题),由△VPO1∽△VQO2得

这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解.解方程②,便可由a、b、h表示x,在图示中便可用斜线将x与a、b、h连结起来.至此,我们已在F与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.

第三,实现计划.

作辅助线(过程略)如图5,由相似三角形的性质,得 ,解得x= . 进而得两锥体的体积为A= a2x= · ,

B= b2(x+h)= · ,

得棱台体积为

F=B-A= · = (a2+ab+b2)h.③

第四,回顾.

正面检验每一步,推理是有效的,演算是准确的.再作特殊性检验,令a→0,由③可得正四棱锥体的体积公式;令a→b,由③可得正四棱柱体的体积公式.这既反映了新知识与原有知识的相容性,又显示出棱台体积公式的一般性;这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系,又可增进三个体积公式的联系记忆.

回顾这个解题过程可以看到,解题首先要弄清题意,从中捕捉有用的信息(如图1所示,有棱台,a、b、h、F共5条信息),同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想:棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息),并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合.这当中,起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略).由这一案例,每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式.

在解题方法上,这个案例是分析法的一次成功应用,从结论出发由后往前找成立的充分条件.为了求F,我们只需求A、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知,化归);为了求A、B,我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单,降维);为了求x,我们只需建立关于x的方程(由几何到代数的转化——数形结合);最后,解方程求x,解题的思路就畅通了,在当初各自孤立而空旷的画面上(图1),形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5),书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述.这个过程显示了分析与综合的关系,“分析自然先行,综合后继;分析是创造,综合是执行;分析是制定一个计划,综合是执行这个计划”.

在思维策略上,这个案例是“三层次解决”的一次成功应用.首先是一般性解决(策略水平上的解决),把F转化为A,B的求解(F=A-B),就明确了解题的总体方向;其次是功能性解决(方法水平的解决),发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能;最后是特殊性解决(技能水平的解决),比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等,是对推理步骤和运算细节作实际完成.

在心理机制上,这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程.首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下,激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式,然后,沿着体积计算的接线向外扩散,依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1~图5),……直到条件与结论之间的网络沟通.这种“扩散——激活”的观点,正是数学证明思维中心理过程的一种解释.

在立体几何学科方法上,这是“组合与分解”的一次成功应用.首先把棱台补充(组合)为棱锥,然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面,这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥),它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍,而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁.这些都可以用于求解其他立体几何问题,并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科.

你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答,操作上未实现只是

能力问题或暂时现象.对于本例,按照化棱台为棱锥的同样想法,可以有下面的解法.

如图6,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,连结DA1,DB1,DC1,DB,将其分成三个四棱锥D-A1B1C1D1,D-AA1B1B,D-BB1C1C,其中

= b2h,

= .(等底等高)

为了求 ,我们连结AB1,将其分为两个三棱锥D-ABB1与D-AA1B1(图7),因

= , 故= , 但= = · a2·h= a2h, 故= +

= a2h+ · a2h= (a2+ab)h.

从而 = + +

= (a2+ab)h+ (a2+ab)h+ b2h

= (a2+ab+b2)h.

你能不能把这一结果或方法用于其他问题?”能,至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一样的).注意到

=S1,b2=S2,ab= ,

可一般化猜想棱台的体积公式为

V台= (S1+ +S2)h. 3波利亚的解题观

对于波利亚的怎样解题表及有关著作,人们从不同的角度阐发了对波利亚解题思想的认识(见参考文献),我们将其归结为5个要点. 3.1程序化的解题系统

怎样解题表,就“怎样解题”、“教师应教学生做些什么”等问题,把“解题中典型有用的智力活动”,按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾,从而描绘出解题理论的一个总体轮廓,也组成了一个完整的解题教学系统.既体现常识性,又体现由常识上升为理论(普遍性)的自觉努力.

这四个阶段首先是一个四步骤的宏观解题程序,其中“实现计划”虽为主体工作,但较为容易完成,是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置,“我们所需要的只是耐心”;其次,“弄清问题”是认识问题、并对问题进行表征的过程,应成为成功解决问题的一个必要前提;与前两者相比,“回顾”是最容易被忽视的阶段,波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来,是一个有远见的做法,在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容.

拟定计划”的过程是在“过去的经验和已有的知识”基础上,探索解题思路的发现过程,波利亚的建议是分两步走:第一,努力在已知与未知之间找出直接的联系(模式识别等);第二,如果找不出直接的联系,就对原来的问题做出某些必要的变更或修改,引进辅助问题,为此,波利亚又进一步建议:看着未知数,回到定义去,重新表述问题,考虑相关问题,分解或重新组合,特殊化,一般化,类比等,积极诱发念头,努力变化问题.这实际上是阐述和应用解题策略并进行资源的提取与分配.

于是,这个系统就集解题程序、解题基础、解题策略、解题方法等于一身,融理论与实践于一体. 3.2启发式的过程分析

还在当学生的时候,波利亚就有一个问题一再使他感到困惑:“是的,这个解答好像还行,它看起来是正确的,但怎样才能想出这样的解答呢?是的,这个实验好像还行,它看起来是个事实,但别人是怎样发现这样的事实?而且我自己怎样才能想出或发现它们呢?”从解题论的观点看,这实际上是既提出了“怎样解题”又提出了“怎样学会解题”的问题,波利亚说,这“终于导致他写出本书”(指《怎样解题》).

波利亚认为“数学有两个侧面”,“用欧几里得方式提出来的数学看来像是一门系统的演绎科学;但在创造过

程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学.这两个侧面都像数学本身一样古老.但从某一点说来,第二个侧面则是新的,因为以前从来就没有„照本宣科‟地把处于发现过程中的数学照原样提供给学生,或教师自己,或公众.”他以数十年的时间悉心研究数学启发法,其“怎样解题”的基本思想就可以概括为“知识+启发法”.

在解题表中,波利亚给出了“启发法小词典”,让读者通过阅读词典来开阔思路、指导实践,自己学会怎样解题.

这些看法来源于波利亚对数学教育宗旨的认识,波利亚认为,数学教育应“教会年轻人去思考”,培养学生的“独立性、能动性和创新精神”;他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生,他赞成,良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”,“应该帮助学生自己再发现所教的内容”,“学东西的最好途径是亲自去发现它”;他特别重视发展学生的数学思维能力,强调数学教学要加强思维训练,要发展学生运用所学知识的能力,发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯,他反复指出,数学教育的目的不仅仅是传授知识,还要“发展学生本身的内蕴能力”.教师要“教学生证明问题”,也要“教他们猜想问题”.波利亚提出“合情推理”的概念,号召:“让我们教猜想吧!”

在解题表的展开中,波利亚则通过剖析典型例题的思维过程来研究“发现和发明的方法和规律”.波利亚不断地提问、不断地建议,“怎样才能想出这样的解答呢?”“我自己怎样才能想出或发现它们呢?”既驱使人们去分析解题过程,又要求人们去总结发现的规律.波利亚在《数学的发现》序言中提出:“领会方法的最佳时机,可能是读者解出一道题的时候,或是阅读它的解法的时候,也可能是阅读解法形成过程的时候”.

波利亚书中的例题,其实就是对典型例题进行解题过程的分析,就是暴露数学解题的思维过程,也就是教人“怎样学会解题”.在例1中,数学操作与思维开展相结合的图解或阐释,使我们既领会到了这样的意图,也见到了这样的行动.

波利亚对解题过程淋漓尽致的剖析,实质上已接触到心理层面,但没有用到多少教育学或思维学的相关名词,基本上都是其数学前沿研究中切身体验的自然流露,数学功底和过程体验发挥了重要作用.这正是数学家研究数学教育的优势,处处有数学的“真刀真枪”,绝非“纸上谈兵”.波利亚说“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”,在“知识”与“组织良好”之间,波利亚更强调后者,他说“良好的组织使得所提供的知识易于用上,这甚至可能比知识的广泛更为重要.”用现在的话来说,波利亚在这里强调了“原有的知识经验”和“优化的认知结构”对问题解决的基础作用.{乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言}.

3.3开放型的念头诱发.

波利亚解释说:“我们表中的问题和建议并不直接提到念头;但实际上,所有的问题和建议都与它有关(可以说解题表中的每一个问句,都是从认知或元认知的角度向读者启发解题念头.),弄清问题是为好念头的出现做准备;拟订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,我们试图更好地利用它.”他强调指出:“老师为学生所能做的最大的好事是通过比较自然的帮助,促使他自己想出一个好念头.”在《怎样解题》一书里,出现“念头”这个词不下四五十次.

念头有什么用?波利亚说:“它会给你指出整个或部分解题途径”.“也许有些念头会把你引入歧途”,但这并不可怕,“在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后”会“突然闪出一个„好念头‟”,最糟糕的是没有任何念头,还“笨头呆脑地干等着某个念头的降临,而不会做任何事情去加速其来到.”

这里说的念头不仅在字面上比“问题表征”更为浅白,而且在内涵上更为丰富,其实质是开展积极活跃的思维活动,产生念头与找出解题途径完全可以理解为同义语.那么产生念头的基础是什么呢?波利亚的回答是:“过去的经验和已有的知识”.(解题力量)“如果我们对该论题知识贫乏,是不容易产生好念头的.如果我们完全没有知识,则根本不可能产生好念头.”

波利亚一再提到“好念头”,其实这就是直觉、顿悟或灵感,“想出一个好念头是一种„灵感运动‟”,“想像力有了一个突然的跳跃,产生了一个好念头,这是天才的一次闪烁”,“是我们观点上的重大突变,我们看问题方式的一个骤然变动,在解题步骤方面的一个刚刚露头的有信心的预感”.

波利亚关于念头的种种议论,正是开展积极思维活动的激发与激活. 3.4探索性的问题转换

这里说的“问题转换”,在《怎样解题》一书中亦叫“变化问题”、“题目变更”,它揭示了探索解题思路的数学

乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言篇四

数学思维的新方法表(波利亚)

波利亚的怎样解题表

陕西师范大学 罗增儒 罗新兵

1乔治·波利亚

 乔治·波利亚(George Polya,1887~1985)是美籍匈牙利数学家、数学教育家.在解题方面,是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律,亦译为探索法)现代研究的先驱.由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产生的影响,在他93岁高龄时,还被ICME(国际数学教育大会)聘为名誉主席. 作为一个数学家,波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算和应用数学等众多领域,都做出了开创性的贡献,留下了以“波利亚”命名的定理或术语;他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典;而以200多篇论文构成的四大卷文集,在未来的许多年里,将是研究生攻读的内容.

作为一个数学教育家,波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》(1945年)、《数学与似真推理》(1954年)、《数学的发现》(1962年)三部世界名著上,涉及“解题理论”、“解题教学”、“教师培训”三个领域.波利亚对数学解题理论的建设主要是通过“怎样解题”表来实现的,而在尔后的著作中有所发展,也在“解题讲习班”中对教师现身说法.他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程,他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”,而是希望通过对于解题过程的深入分析,特别是由已有的成功实践,总结出一般的方法或模式,使得在以后的解题中可以起到启发的作用.他所总结的模式和方法,包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问题进行变形等,都在解题中行之有效.尤其有特色的是,他将上述的模式与方法设计在一张解题表中,并通过一系列的问句或建议表达出来,使得更有启发意义.著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过:“每个大学生、每个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书”(1952年2月2日).{乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言}.

2怎样解题表

波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的,这首先表明其对“问题解决”重要性的突出强调,同时也表明其对“问题解决”研究兴趣集中在启发法上.波利亚在风靡世界的《怎样解题》(被译成14种文字)一书中给出的“怎样解题表”,正是一部“启发法小词典”.

2.1“怎样解题”表的呈现

弄清问题

拟定计划

实现计划

回顾

 2.2“怎样解题”表的实践

例1给定正四棱台的高h,上底的一条边长a和下底的一条边长b,求正四棱台的体积F.(学生已学过棱柱、棱锥的体积)

【讲解】第一,弄清问题.

问题1.你要求解的是什么?

要求解的是几何体的体积,在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来(图1).

问题2.你有些什么?

一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h;另一方面是已学过棱柱、棱锥的体积公式,并积累有求体积公式的初步经验.把已知的三个量添到图示处(图2),就得到新添的三个点a、b、h;它们与F之间有一条鸿沟,象征问题尚未解决,我们的任务就是将未知量与已知量联系起来.

第二,拟定计划.

问题3.怎样才能求得F?

由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式,而棱台的几何结构(棱台的定义)告诉我们,棱台是“用一个平行于底面的平面去截棱锥”,从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成的.如果知道了相应两棱锥的体积B和A,我们就能求出棱台的体积F=B-A.①

我们在图示上引进两个新的点A和B,用斜线把它们与F联结起来,以此表示这三个量之间的联系(图3,即①式的几何图示).这就把求F转化为求A、B.

问题4.怎样才能求得A与B?

依据棱锥的体积公式(V= Sh),底面积可由已知条件直接求得,关键是如何求出两个棱锥的高.并且,一旦求出小棱锥的高x,大棱锥的高也就求出,为x+h.

我们在图示上引进一个新的点x,用斜线把A与x、a连结起来,表示A能由a、x得出,A= a2x;类似地,用斜线把B与b、h、x连结起来,表示B可由b、h、x得出,B= b2(x+h)(图4),这就把

求A、B转化为求x.

问题5.怎样才能求得x?

为了使未知数x与已知数a、b、h联系起来,建立起一个等量关系.我们调动处理立体几何问题的基本经验,进行“平面化”的思考.用一个通过高线以及底面一边上中点(图5中,点Q)的平面去截两个棱锥,在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、x联系起来(转化为平面几何问题),由△VPO1∽△VQO2得

这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求解.解方程②,便可由a、b、h表示x,在图示中便可用斜线将x与a、b、h连结起来.至此,我们已在F与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.

第三,实现计划.

作辅助线(过程略)如图5,由相似三角形的性质,得 ,解得x= .

进而得两锥体的体积为A= a2x= · ,

B= b2(x+h)= · ,

得棱台体积为

F=B-A= · = (a2+ab+b2)h.③

第四,回顾.

(1)正面检验每一步,推理是有效的,演算是准确的.再作特殊性检验,令a→0,由③可得正四棱锥体的体积公式;令a→b,由③可得正四棱柱体的体积公式.这既反映了新知识与原有知识的相容性,又显示出棱台体积公式的一般性;这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系,又可增进三个体积公式的联系记忆.

(2)回顾这个解题过程可以看到,解题首先要弄清题意,从中捕捉有用的信息(如图1所示,有棱台,a、b、h、F共5条信息),同时又要及时提取记忆网络中的有关信息(如回想:棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息),并相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合.这当中,起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划(包括解题策略).由这一案例,每一个解题者还可以根据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式.

(3)在解题方法上,这个案例是分析法的一次成功应用,从结论出发由后往前找成立的充分条件.为了求F,我们只需求A、B(由棱台体积到棱锥体积的转化——由未知到已知,化归);为了求A、B,我们只需求x(由体积计算到线段计算的转化——由复杂到简单,降维);为了求x,我们只需建立关于x的方程(由几何到代数的转化——数形结合);最后,解方程求x,解题的思路就畅通了,在当初各自孤立而空旷的画面上(图1),形成了一个联接未知与已知间的不中断网络(图5),书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述.这个过程显示了分析与综合的关系,“分析自然先行,综合后继;分析是创造,综合是执行;分析是制定一个计划,综合是执行这个计划”.

(4)在思维策略上,这个案例是“三层次解决”的一次成功应用.首先是一般性解决(策略水平上的解决),把F转化为A,B的求解(F=A-B),就明确了解题的总体方向;其次是功能性解决(方法水平的解决),发挥组合与分解、相似形、解方程等方法的解题功能;最后是特殊性解决(技能水平的解决),比如按照棱台的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式等,是对推理步骤和运算细节作实际完成.

(5)在心理机制上,这个案例呈现出“激活——扩散”的基本过程.首先在正四棱台(条件)求体积(结论)的启引下,激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的体积公式,然后,沿着体积计算的接线向外扩散,依次激活截面知识、相似三角形知识、解方程知识(参见图1~图5),……直到条件与结论之间的网络沟通.这种“扩散——激活”的观点,正是数学证明思维中心理过程的一种解释.

(6)在立体几何学科方法上,这是“组合与分解”的一次成功应用.首先把棱台补充(组合)为棱锥,然后再把棱锥截成(分解)棱台并作出截面,这种做法在求棱锥体积时曾经用过(先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥),它又一次向我们展示“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍,而“平面化”的思考则是沟通立体几何与平面几何联系的一座重要桥梁.这些都可以用于求解其他立体几何问题,并且作为一般化的思想(化归、降维)还可以用于其他学科.

(7)“你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出肯定的回答,操作上未实现只是能力问题或暂时现象.对于本例,按照化棱台为棱锥的同样想法,可以有下面的解法.

如图6,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,连结DA1,DB1,DC1,DB,将其分成三个四棱锥D-A1B1C1D1,D-AA1B1B,D-BB1C1C,其中

 = b2h,

乔治·波利亚提出的关与学习的名人名言篇五

高中数学论文

高中数学论文

在新课程理念下谈高考数学复习

在新课程理念下谈高考数学复习

早在国家考试中心发布的《2002年高考数学试题评价报告》中就建议:“更加关注高中数学课程改革的进展,了解使用新课程考生的实际情况;汲取新课程中的新思想、新理念,使高考数学科考查更加反映数学教育改革的发展方向.”现在由教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》已经于2003年颁布,对应的课程教材也已经在广东省高中实行两年,所以在2006年高考数学复习中更应关注新课程的理念。

新课程的基本理念如下:1.构建共同基础,提供发展平台.2.提供多样课程,适应个性选择.3.倡导积极主动、勇于探索的学习方式.4.注重提高学生的数学思维能力.5.发展学生的数学应用意识.6.与时俱进地认识“双基”.7.强调本质,注意适度形式化.8.体现数学的文化价值.9.注重信息技术与数学课程的整合.10.建立合理、科学的评价体系。

我们考察近三年即2003—2005 年的高考数学试题(广东卷),不难发现,不少试题都充分体现了新课程理念,反映了高考对高中课标的有力支持.

例:(2003年广东卷第11题)已知长方形的四个顶点A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点P0的点P2、P3和 P4( )

(A)(1,1) (B3 分析: 1/2, 则P0, P1, P2, P3此时x4=1;如果tg 的虚线所示.可见tg  满足条件1 x42, =2/5时, x4=2, 可见 tg

调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位.这也是选择题的应有特点。

从近三年的试题变化我们可以得出结论,采取题海战术、猜题押题等手段

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